İnternette Fotoğraf Paylaşmanızı Sağlayan 200 Yıllık Formül

Sakin olun.

Burada gördüğünüz formül neredeyse 2 asırlık ancak bugün onun sayesinde kimi kullanışlı teknolojilere sahibiz. İstediğimiz müziğe saniyeler içerisinde ulaşıyor, istediğimiz manzarayı anında toplumsal medyada paylaşabiliyoruz. 

Tüm bunların matematikle ne kadar ilgisi olduğuna karşılık arıyorsunuz, biliyoruz. Bunun için bilincimizdeki vakit makinesine biniyor ve 1822 yılına, Fransa’daki bir kütüphanede gözümüzü açıyoruz. Raflarda duran yeni basılmış 'Isının Analitik Teorisi' isimli bir kitap dikkatimizi çekiyor. Sayfalarını çeviriyor, birebir formülü tekrar karşımızda görüyoruz. 

Kitabı muharririne bakıyoruz: Baron Jean-Baptiste-Joseph Fourier

9 yaşında anne ve babasını kaybedince büyük bir darbe yedi, askeri okulda aldığı eğitimle içindeki matematik dehasını ortaya çıkardı. Fourier, üstteki formülü ortaya koyan matematikçiydi.Ancak yaptığı şeyin gelecekteki insanların hayatlarını nasıl değiştireceğinden bihaberdi. 

Fourier’in yaptığı matematiğin sonlarını aştı, mühendislik ve teknolojiye önemli biçimde istikamet verdi.

Pekala, bu dâhi aslında neyin peşindeydi?

Fourier, aslında ısının nasıl iletildiğiyle ilgileniyordu. Onun merakı, bu tuhaf gücün unsurların içinde ne süratte ve nasıl ilerlediği üzerineydi. Yaptığı çalışmalarla bir formül geliştirdi.

Bugün elektromanyetik sinyal dediğinizde aklınızda bu türlü frekans dalgaları beliriyor mu?

Fourier, daha elektromanyetik sinyalleri görselleştiremediğimiz yıllarda, tuhaf bir ilişkiyi keşfetmişti. Karmaşık frekansa sahip sinyallerin, sistemli frekansa sahip sinyallerin birleşiminden oluştuğunu anladı. Yani birden fazla kolay sinyali üst üste ekleyerek daha kompleks bir yapıya sahip dalgalar oluşturulabilirdi. 

Örnekle açıklayalım:

Evrim Ağacı’nın kurucusu Dr. Davet Mert Bakırcı, bu durumu üç farklı piyanonun tuşuna tıpkı anda basmaya benzetiyor. Her biri tuşun sesini birer sinüs dalgalarıyla söz edebiliyoruz. Bu sesleri üst üste koyduğumuzda ise daha karmaşık bir ses ve ses dalgası elde ediyoruz. 

Fourier, karmaşık dalgaları sinüs dalgalarıyla açıklamak istemişti. Asıl tespiti ise dalgaları birleştirme sürecinin tam aksisini söz ediyordu.

Karmaşık dalgaların tümünü yüzlerce, binlerce hatta milyonlarca kolay dalgaya ayırmak mümkündü!

Yani şayet karmaşık bir sinyal üretmek istiyorsanız, kaç farklı kolay sinyale gereksiniminiz olduğunu hesaplayabilirdik. Bu da ne demek?

Diyelim ki bir müzisyensiniz ve aklınıza hoş bir ezgi geldi…

Bu ezgiyi notalara dökmek, sesleri enstrümanlara dökmek gerekiyor. Yani karmaşık bir ezgiyi daha kolay kesimlere ayırmak zorundasınız. Fourier’in Dönüşümü sayesinde gereksiniminiz olan tüm kolay dalgaları hesaplayabilirsiniz. Üstelik doğruluk oranınız ise %100 olacaktır.

Fourier’in ürettiği formül karmaşık bir bütünü kolay kesimlere ayırmanın tek adımda gerçekleşmesini sağlıyor. 

• x(t): Elde etmek istediğiniz karmaşık sinyalin ta kendisi,
• e üzeri (−jπ2ft): Vahim görünse de aslında sinüsoid dalgalarını söz ediyor,

İki terimi çarpıp sonucun integralini aldığınızda sinüs dalgalarını kolay modüllere bölmüş oluyorsunuz. Sonuçtaki X(f) terimi ise her bir kolay sinyal büyüklüğünü ve gecikme ölçüsünü sunuyor.

Artık (nihayet) gelelim günümüze ve bu formülü kullandığımız yerlere:

Aklınıza gelen o hoş ezgiye sahip şarkıyı bestelediniz ve kayda girdiniz. Bütün enstrümanlar teker teker ve başka farklı çalındı, kaydedildi. Kaydedilen her ses, ülkü bir formda üst üste getirildi ve müziğiniz ortaya çıktı. 

Yani birden fazla kolay ses dalgasını üst üste birleştirip karmaşık bir dalgayı, yani şarkıyı oluşturuyorsunuz. 

Yapılması gereken tek bir şey kalıyor: Bu şarkıyı insanlara ulaştırmak ve kolaylıkla dinlemelerini sağlamak. İşte o sırada tüm bu karmaşık ses belgelerinin tek bir belgede birleşmesi gerekiyor. Yani 'miksleme' denilen süreci gerçekleştirmeniz lazım. 

Evet, yanlışsız bildiniz. .MP3 burada ortaya çıkıyor:

Olağanda kayıt evraklarını direkt insanlara sunmanız imkansız. Hakikaten ortaya çıkan son belge transfer etmek için hayli uygun bir bilgi boyutuna sahip. 

Şayet dinlediğiniz bir müziği Fourier dönüşümü ile kesimlerine ayırırsanız, birtakım seslerin düşük ve kimilerinin yüksek frekansa sahip olduklarını görürsünüz. Tanınan evrak formatı .MP3 için de bu durum geçerlidir. Bu belgede duymanın bir mana söz etmediği tüm gereksiz ses frekansları çıkarılmış olur. Fourier’in dönüşümü sayesinde, yalnızca duymamız gereken sesleri üst üste ekler, başkalarını eleriz. 

Pekala, Spotify üzere uygulamalardaki müziklerin .MP3 formatından ne farkı var?

Artık .MP3 üzere tahlillerin de geride kaldığı bir devirdeyiz. Spotify, Shazam ve öbür tanınan müzik platformlarındaki belge formatı ise .OGG koduyla bildiğimiz Ogg Vorbis. Bu formattaki dalga dönüşümü ise Fourier Dönüşümü ile değil, Ayrık Kosinüs Dönüşümü ile gerçekleştiriliyor. 

Shazam'da bir müzik arattığınızda uygulama, bu dönüşümü kullanarak ses dalgaları içindeki kolay frakansları ayrıştırıyor. Ayrışan kolay frekanslarla Shazam’ın elindeki data tabanında bulunan frekans pahaları eşleşince aradığını şarkıyı da bulmuş oluyorsunuz. Yani Shazam, aslında bütün şarkıyı değil, içindeki en uygun frekansları dinleyip ayırt ediyor. 

Gürültü engelleyen kulaklıklar!?

Şayet gerçek bir gürültü engelleyici kulaklığınız varsa kulaklığınız Fourier Dönüşümü’nü kullanıyor. Kulaklık etrafınızdaki sesi algılıyor, kaydediyor, ses spektrumunu kolay dalgalara ayırıyor, tahlil ediyor ve dinlediğiniz müziğin frekanslarını sonuca nazaran değiştiriyor. Tam o sırada yanınızda bir korna çalıyorsa frekanslar yükseliyor ve gürültü anlık olarak kesiliyor.

Görsellerdeki .JPG formatı!?

Üstteki görseli bilgisayarınıza kaydettiğinizde formatı .JPG olacak. Bu kayıt esnasında bilgisayarınız Fourier Dönüşümleri yaparak manzaradaki renkleri ve parlaklıkları kolay dalgalar formunda algılayacak ve bazı yüksek frekansları atacak. Atılan bu frekansları biz gözümüzle neredeyse fark bile edemeyeceğiz.

Hatta WhatsApp’tan yaptığınız fotoğraf alışverişini düşünün. Olağanda çok büyük piksel içeren o fotoğraflar WhatsApp’tan gidince bir anda görsel kalitelerini kaybediyor. Bu gönderim sırasında WhatsApp uygulaması, manzarayı kolay dalgalara ayırıp birtakım frekansları siliyor. Sonuç olarak karşı tarafa manzara gidiyor ancak silinen frekanslar yüzünden bariz bir kalite kaybı yaşanıyor. WhatsApp, bu süreçleri transferi kolaylaştırmak için gerçekleştiriyor. Sonuç olarak 8-9 MB boyutundaki bir fotoğrafı 150 KB olarak iletebiliyoruz. 

Süper, değil mi?

O vakitler ne yaptığının farkında olmayan Fourier asıl gayesine ulaşmış mıydı?

Faurer üzere bir dahi için elbette müziği kolay dinlemek ya da WhatsApp kümesinden selfie göndermek sorun değildi. Onun ısının iletimiyle ilgilendiğini söylemiştik. Kendisi, ortaya koyduğu dönüşüm formülüyle ısı hareketini modelleyebildi. Isının nasıl iletildiğini çok çok düzgün anladı.

Bugün yeryüzünde ya da uzayda bulunan bir araçta kullanılan gereçlerin ısıya olan hassaslığını merak ediyorsak yeniden Fourier’in Dönüşümü’ne göz atıyoruz. 

Tek bir formül, 200 yıl içinde işte bu türlü pahalanıyor. 

Umarız bugün öğrendikleriniz; matematik ve genel olarak tüm bilimsel alanların ne kadar değerli olduğunu bir sefer daha göstermiştir.

• Kaynaklar: Evrim Ağacı, Gizmodo